यदि sum_{r=1}^{n}r^3 - sum_{p=1}^{n} sum_{m=1 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.अब,त्रिपल योगफल पर विचार करें: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^

Vedclass · Accepted Answer

$4$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\sum_{r=1}^{n} r^3 = \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2$.अब,त्रिपल योगफल पर विचार करें: $\sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} m = \sum_{p=1}^{n} \frac{p(p+1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \sum_{p=1}^{n} p^2 + \sum_{p=1}^{n} p \right]$.मानक योगफल सूत्रों का उपयोग करते हुए: $\sum_{p=1}^{n} p^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{p=1}^{n} p = \frac{n(n+1)}{2}$.अतः,त्रिपल योगफल $\frac{1}{2} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+1}{3} + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{4} \left[ \frac{2n+4}{3} \right] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$ है।इस प्रकार,समीकरण बनता है: $\left[ \frac{n(n+1)}{2} \right]^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{6} = 80$.यदि $n=4$ रखें: $\left[ \frac{4(5)}{2} \right]^2 - \frac{4(5)(6)}{6} = 10^2 - 20 = 100 - 20 = 80$.अतः,$n=4$ सही मान है।

यदि $\sum_{r=1}^{n}r^3 - \sum_{p=1}^{n} \sum_{m=1}^{p} \sum_{r=1}^{m} 1 = 80$ है,तो $n$ का संभावित मान क्या है?

Similar Questions

एक संख्या दूसरी संख्या का व्युत्क्रम है। यदि दोनों संख्याओं का समांतर माध्य $\frac{13}{12}$ है,तो वे संख्याएँ क्या हैं?

$A.P. 3, 7, 11, 15, ...$ के कितने पदों का योग $406$ होगा?

एक $A.P.$ (समांतर श्रेणी) का $7$ वां पद $40$ है,तो प्रथम $13$ पदों का योग क्या होगा?

यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं और $a^2, b^2, c^2$ $G.P.$ में हैं,इस प्रकार कि $a < b < c$ और $a+b+c = \frac{3}{4}$,तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

अनुक्रम $\sqrt{2}, \sqrt{10}, 5\sqrt{2}, \dots$ का $7$ वाँ पद क्या है?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module